3.7 互感与理想变压器
3.7 互感与理想变压器
3.7.1 耦合电感元件
1．耦合电感的概念
图3-40是两个相距很近的绕组（电感），当绕组1中通入电流i1时，在绕组1中就会产生自感磁通F11，而其中一部分磁通F21，它不仅穿过绕组1，同时也穿过绕组2，且F21≤F11。同样，若在绕组2中通入电流i2，它产生的自感磁通F22，其中也有一部分磁通F12不仅穿过绕组2，同时也穿过绕组1，且F12≤F22。像这种一个绕组的磁通与另一个绕组相交链的现象，称为磁耦合，即互感。F21、F12称为耦合磁通或互感磁通。
图3-40 磁通相助的耦合电感
假定穿过绕组每一匝的磁通都相等，则交链绕组1的自感磁链与互感磁链分别为
， 
交链绕组2的自感磁链与互感磁链分别为
， 
类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：
， 
上式表明绕组1对绕组2的互感系数M21，等于穿越绕组2的互感磁链与激发该磁链的绕组1中的电流之比。二式表明绕组2对绕组1的互感系数M12，等于穿越绕组1的互感磁链与激发该磁链的绕组2中的电流之比。可以证明M21=M12=M。
以后不再加下标，一律用M表示两绕组的互感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（H）。因为F21≤F11，F12≤F22，所以可以得出两绕组的互感系数小于等于两绕组自感系数的几何平均值，即
M≤
（3.7.1）
上式仅说明互感M比
小（或相等），但并不能说明M比
小到什么程度。为此，工程上常用耦合系数K来表示两绕组的耦合松紧程度，其定义为
（3.7.2）
则 
（3.7.3）
可知，0≤K≤1，K值越大，说明两个绕组之间耦合越紧，当K=1时，称全耦合，当K=0时，说明两绕组没有耦合。
耦合系数K的大小与两绕组的结构、相互位置以及周围磁介质有关。如图3-41（a）所示的两绕组绕在一起，其K值可能接近1。相反，如图3-41（b）所示，两绕组相互垂直，其K值可能近似于零。由此可见，改变或调整两绕组的相互位置，可以改变耦合系数K的大小。
（a） （b）
图3-41 耦合系数K与绕组相互位置的关系
2．耦合电感元件的电压、电流关系
当有互感的两绕组上都有电流时，交链每一绕组的磁链不仅与该绕组本身的电流有关，也与另一个绕组的电流有关。如果每个绕组的电压、电流为关联参考方向，且每个绕组的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，而自感磁通又与互感磁通方向一致，即磁通相助，如图3-40所示。这种情况，交链绕组1、2的磁链分别为：
（3.7.4）
（3.7.5）
由电磁感应定律，当通过绕组的电流变化时，绕组两端会产生感应电压
（3.7.6）
（3.7.7）
式中：
、
分别为绕组1、2的自感电压；
、
分别为绕组1、2的互感电压。如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，如图3-42所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为
（3.7.8）
（3.7.9）
图3-42 磁通相消的耦合电感
对以上磁通相助、相消两种情况进行归纳总结，可以得出：自感电压
、
取正还是取负，取决于本电感的u、i的参考方向是否关联。若关联，自感电压取正；反之取负。而互感电压
、
的符号这样确定：当两绕组电流均从同名端流入（或流出）时，绕组中磁通相助，互感电压与该绕组中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两绕组电流从异名端流入（或流出）时，由于绕组中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压取负号，反之亦然。
3．同名端
绕组的同名端是这样规定的：具有磁耦合的两绕组，当电流分别从两绕组各自的某端同时流入（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则这两端叫作互感绕组的同名端，用黑点“·”或星号“*”作标记。如图3-43所示，当i1、i2分别由端钮a和d流入（或流出）时，它们各自产生的磁通相助，因此a端和d端是同名端（当然b端和c端也是同名端）；a端与c端（或b端与d端）称异名端。
有了同名端规定后，图3-43（a）所示的互感绕组在电路中可以用如图3-44（b）所示的模型表示，在图（a）中，设电流i1、i2分别从a、d端流入，磁通相助，如果再设各绕组的u、i为关联参考方向，那么两绕组上的电压分别为
图3-43 同名端
（3.7.10）
（3.7.11）
如果如图3-44（b）所示，设i1仍从a端流入，而i2从d端流出，可以判定磁通相消，那么两绕组上的电压分别为
（3.7.12）
（3.7.13）
对于已标定同名端的耦合电感，可根据u、i的参考方向以及同名端的位置写出其u-i关系方程。也可以将耦合电感的特性用电感元件和受控电压源来模拟，如图3-44（a）、（b）电路可分别用（c）、（d）电路来代替。可以看出：受控电压源（互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。
这样，将互感电压模拟成受控电压源后，可直接由图3-44（c）、（d）写出两绕组上的电压，使用这种方法，在列写互感绕组u-i关系方程时，会感到非常方便。
（a） （b）
（c） （d）
图3-44 （a）（c）磁通相助；（b）（d）磁通相消
【例3-9】如图3-45所示电路中，M=0.025H，
，试求互感电压u21。
解：选择互感电压u21与电流i1的参考方向对同名端一致。
|
图3-45 【例3-9】用图 |
其相量形式为：
3.7.2 耦合电感的去耦等效
1．耦合电感的串联等效
耦合电感的串联有两种方式——顺接和反接。顺接就是异名端相接，如图3-46（a）所示。
把互感电压看作受控电压源后得电路如图3-46（b）所示，由该图可得
（3.7.14）
其中 
（3.7.15）
（a） （b）
图3-46 耦合电感顺接串联
由此可知，顺接串联的耦合电感可以用一个等效电感L来代替，等效电感L的值由式（3.7.15）来定。
耦合电感的另一种串联方式是反接串联。反接串联是同名端相接，如图3-47（a）所示，把互感电压看作受控电压源后得电路如图3-47（b）所示，由图（b）图可得
（3.7.16）
其中 
（3.7.17）
（a） （b）
图3-47 耦合电感的反接串联
由此可知，反接串联的耦合电感可以用一个等效电感L代替，等效电感L的值由式（3.7.17）来定。
2．耦合电感的T型等效
（1）互感绕组的同名端连在一起。
如图3-48所示，为三支路共一节点，其中有两条支路存在互感。由图可知，
的b端与
的d端是同名端且连接在一起，两绕组上的电压分别为
（3.7.18）
（3.7.19）
将以上两式经数学变换，可得
（3.7.20）
（3.7.21）
画出两式T型等效电路如图3-48（b）所示，因有3个电感相互间无互感，它们的自感系数分别为L1-M、L2-M和M，又连接成T型结构形式，所以称之为互感绕组的T型去耦等效电路。
（a） （b）
图3-48 同名端相连的T型去耦等效电路
（2）互感绕组的异名端连接在一起。
图3-49（a）与图3-48（a）两电路相比较结构一样，只是具有互感的两支路的异名端连接在一起，两绕组上的电压分别为
（3.7.22）
（3.7.23）
同样将以上两式经数学变换，可得
（3.7.24）
（3.7.25）
（a） （b）
图3-49 异名端相连的T型去耦等效电路
画得T型等效电路如图3-49（b）所示，这里（b）图中-M为一等效的负电感。利用上述等效电路，可以得出如图3-50（a）和（c）所示的耦合电感并联的去耦等效电路，分别如图3-50（b）和（d）所示。由图（b）、（d）应用无互感的电感串、并联关系，可以得到同名端、异名端连接时耦合电感并联的等效电感为
（3.7.26）
（3.7.27）
（a） （b）
（c） （d）
图3-50 两个耦和电感的并联
3.7.3 空芯变压器电路的分析
变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级绕组和一个次级绕组，初级绕组接电源，次级绕组接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。
常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。所谓空芯变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的绕组组成的，其耦合系数较小，属于松耦合。
因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用于分析空芯变压器电路。
设空芯变压器电路如图3-51（a）所示，其中R1、R2分别为变压器初、次级绕组的电阻，
为负载电阻，设
为正弦输入电压。互感的作用可以在电路中用增添受控电压源来计及，如图3-51（b）所示。
（a） （b）
图3-51 空心变压器电路
由图3-51（b）所示的相量模型图可列出回路方程为
（3.7.28）
（3.7.29）
或写为 
（3.7.30）
（3.7.31）
式中：
称为初级回路自阻抗；
称为次级回路自阻抗；
称为初次级回路互阻抗。
可求得图3-51（b）所示耦合电感的初级、次级电流相量分别为
（3.7.32）
（3.7.33）
是由次级中的感应电压产生的，根据图3-51（b）中所示的感应电压极性，不难理解第二式中负号的来历。显然，如果同名端的位置不同或电流参考方向不同，互阻抗的符号将会改变。对初级电流
来说，由于式中的jωM以平方形式出现，不管jωM的符号为正还是为负，得出的
都是一样的。
求得由电源端看进去的输入阻抗为
（3.7.34）
由此可见，输入阻抗由两部分组成：
，即初级回路的自阻抗；
，Zref即次级回路在初级回路的反映阻抗。这就是说，次级回路对初级回路的影响可以用反映阻抗来计及。因此，由电源端看进去的等效电路，也就是初级等效电路应如图3-52所示。当只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。
图3-52 初级等效电路
可求得次、初级电流之比为
（3.7.35）
所以 
（3.7.36）
式中：
是初级电流
通过互感而在次级绕组中产生的感应电压，次级电流就是这一电压作用的结果。因此，
除以次级的总阻抗
即得次级电流。在算得
后，可求出
。
反映阻抗的算法是很容易记住的，把
除以次级回路的阻抗即为反映阻抗。显然，从以上推导可以看出：反映阻抗的概念不能用于次级含有独立源的耦合电感电路。
3.7.4 理想变压器
理想变压器是铁芯变压器的理想化模型，它的唯一参数只是一个称之为变比的常数n，而不是L1、L2、M等参数，理想变压器满足以下3个理想条件：
（1）耦合系数K=1，即为全耦合。
（2）自感系数L1、L2为无穷大，但L1/L2为常数。
（3）无任何损耗，这意味着绕组的金属导线无任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率μ无穷大。
1．理想变压器两端口的电压、电流之间的关系
图3-53（a）所示的铁芯变压器，其初、次级匝数分别为N1和N2，可判定a、c为同名端，设i1、i2分别从同名端流入（属磁通相助），设初、次级电压u1、u2与各自绕组上的电流i1、i2为关联参考方向。
（a） （b）
图3-53 变压器示意图及其模型
由于为全耦合，则绕组的互感磁通必等于自感磁通，即F21=F11，F12=F22，穿过初、次级绕组的磁通相同，即
F11+F12=F11+F22=F （3.7.37）
F22+F21=F21+F11=F （3.7.38）
式中：F称为主磁通。
初、次级绕组交链的磁链
、
分别为 ：
，
，对
、
求导，得初、次级电压分别为
（3.7.39）
（3.7.40）
所以 
或 
上式为理想变压器初、次级电压之间的关系。式中n称为匝比或变比，它等于初级与次级绕组的匝数之比。理想变压器的电路模型如图3-53（b）所示。
由安培环路定律 
（3.7.41）
由于μ为无穷大，磁通F为有限值，因此
（3.7.42）
即 
（3.7.43）
上式反映了理想变压器初、次级电流之间的关系。
通过以上分析，说明理想变压器具有变换电压和电流的作用。在正弦稳态下，其相量形式为
（3.7.44）
（3.7.45）
应该强调以下几点：
（1）对于变压关系式取“+”还是取“-”，仅取决于电压参考方向与同名端的位置。当u1、u2参考方向在同名端极性相同时，则该式冠以“+”号；反之，若u1、u2参考方向一个在同名端为“+”，一个在异名端为“+”，该式冠以“-”号。
（2）对于电流关系式取“+”还是取“-”，仅取决于电流参考方向与同名端的位置。当初、次级电流i1、i2分别从同名端同时流入（或同时流出）时，该式冠以“-”号，反之若i1、i2一个从同名端流入，一个从异名端流入，该式冠以“+”号。
（3）任意时刻，理想变压器吸收的功率恒等于零。例如对如图3-54所示的理想变压器，其瞬时功率为
，即理想变压器不消耗能量也不储存能量，从初级绕组输入的功率全部都能从次级绕组输出到负载。理想变压器不存储能量，是一种无记忆元件。
图3-54 理想变压器
2．理想变压器的阻抗变换性质
理想变压器在正弦稳态电路中，还表现出有变换阻抗的特性，如图3-54所示理想变压器，次级接负载阻抗ZL，由设出的电压、电流参考方向及同名端位置，可得理想变压器在正弦电路里相量形式为
（3.7.46）
（3.7.47）
由ab端看，输入阻抗为
（3.7.48）
因负荷ZL上电压、电流为非关联参考方向，将
代入上式，即得
（3.7.49）
上式表明，当次级接阻抗ZL，对初级来说，相当于在初级接一个值为n2ZL的阻抗，即理想变压器有变换阻抗的作用。习惯上把ZL称为次级对初级的折合阻抗。实际应用中，一定的电阻负载RL接在变压器次级，在变压器初级相当于接(N1/N2)2RL的电阻。如果改变n=N1/N2，输入电阻n2RL也改变，所以可利用改变变压器匝比来改变输入电阻，实现与电源匹配，使负载获得最大功率。
由以上介绍可知，理想变压器有3个主要性能，即变压、变流、变阻抗。理想变压器的变压关系适用于一切变动的电压、电流情况。