4.2 一阶电路的零输入响应
4.2 一阶电路的零输入响应
本章开始时已提到，所谓一阶电路，是指由R、C或者R、L组成的电路，这种电路仅含有一种动态元件。如果这些动态元件在换路前已储能，那么即使在换路后电路中没有激励（电源）存在，仍将会有电流、电压。这是因为储能元件所储存的能量要通过电路中的电阻以热能的形式放出。把这种外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电流、电压就称为电路的零输入响应。电容对电阻放电时的电流、通有电流的电感突然被短接后电路中电流的变化等都是零输入响应的例子。
4.2.1 一阶RC电路的零输入响应
一阶RC电路的零输入响应电路如图4-3所示。
图4-3 一阶RC电路的零输入响应
由图可知：t≥0+时，由KVL得
（4.2.1）
而
，
，则有
（4.2.2）
此电路方程式为一阶齐次微分方程，其初始条件为
（4.2.3）
该一阶微分方程的特征方程为
（4.2.4）
特征根为
（4.2.5）
所以方程（4.2.2）的通解为
（4.2.6）
将初始条件
代入上式，得
将uC(0+)代入式（4.2.6），求出满足初始值的微分方程的解为
（4.2.7）
电路中的放电电流为
（4.2.8）
为了方便，令
，则上式可写成
（4.2.9）
电阻上的电压为
（4.2.10）
从上面的分析可以看出，一阶RC电路在过渡过程中uR、uC和i都是按照同样的指数规律变化的，并且变化规律仅仅取决于电路和元件参数，而与变量的选择无关，uR、uC和i都是按照同样的指数衰减，最后趋于零。其变化规律如图4-4所示。
令
，当U0一定时，C越大，储存的电荷越多，放电时间越长；电流越小，放电时间越长。所以
反应一阶RC电路过渡过程进展的速度。
另外
，即
的单位是秒，因而把
称为一阶RC电路的时间常数，引入
后，电容电压和电流又可以写成
，
，
当t=
时，可得电容电压为
即每过时间
，电容上的电压就降为初始值的0.368，这样一般认为经过
～
动态过程就结束了，此时电压降为初始值的
。可见，RC电路的零输入响应就是电容电压从非零初始值按指数规律衰减到零的过程。
当t=4τ时，
。
时间常数可以用改变电路参数的方法加以调节控制，图4-5给出了RC串联电路在3种不同的C值下uC随时间变化的曲线。
（a） （b）
图4-4 uR、uC和i随时间变化曲线 图4-5 不同时间常数的uC波形
4.2.2 一阶RL电路的零输入响应
一阶RL电路的零输入响应电路如图4-6，由图可知：t≤0-时，
，t≥0+时，由KVL得 
（4.2.11）
然而 
， 
则 
（4.2.12）
根据换路定律，得初始条件为
。
可知电路方程（4.2.12）为一阶齐次微分方程。其特征方程为
（4.2.13）
特征根为
（4.2.14）
所以电流iL为
（4.2.15）
将
代入上式，得
（4.2.16）
零输入响应iL为
（4.2.17）
电阻和电感上的电压分别为
（4.2.18）
（4.2.19）
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。有
（4.2.20）
（4.2.21）
（4.2.22）
由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的，随着时间t的增加，动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗，因此，零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零。若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
（4.2.23）
iL、uL和uR随时间变化的曲线如图4-7所示。
图4-6 一阶RL电路的零输入响应 图4-7 iL、uL和uR随时间变化的曲线
【例4-2】电路如图4-8（a）所示。t＜0时电路处于稳定，t=0时开关S打开。求t＞0时的电流iL和电压uR、uL。
（a） （b）
图4-8 【例4-2】用图
解：由于
时电路处于稳定，电感L看作短路，所以
根据换路定律，可得 
画出t=
等效电路如图4-8（b）所示，由图可得
时间常数 
需要说明一点，电压
和
也可以通过如下方法求得
