1.2 编 码

 

1.2  编    码

1.2.1  原码、反码与补码

在平常的算术运算中，用“+”表示正数，用“-”表示负数；而在数字系统中，正﹑负数的表示方法是：把一串二进制数的最高位作为符号位，在这个符号位上用0表示正数，用1表示负数。一串带符号位的二进制数通常称为机器数，它原来的数值形式称为该机器数的真值。原码﹑反码与补码是在计算机技术中广泛用到的机器数，下面分别来学习这3种码以及它们之间的转换关系。

1．原码

原码表示法又称为符号数值表示法，即码的最高位表示数的符号，后面的各位表示数的大小。例如，一个数的原始形式为：X=-1001001，即X的真值为-1001001。因为数的真值不能直接应用于计算机中，所以要将真值前面的符号数码化，将真值转换为可以应用于计算机的机器数，原码就是一种机器数。X的原码表示为：11001001。下面再举几个例子：

[+1010011]_原=01010011

[-1001100]_原=11001100

[-1111000]_原=11111000

由上述例子可见：

当真值X＞0时，例如，X=+101001，[X]_原=01010010=X；

当真值X＜0时，例如，X=-100110，[X]_原=11001100

=10000000+1001100

=10000000-（-1001100）

=2ⁿ-X

其中，n是原码的位数（不包括整数位）。

综上所述，一个n位的真值X（不包括整数位）的原码的公式表示方法为：

[X]_原=X     0≤X＜2^n-1

[X]_原=2^n-1-X     -2^n-1＜X≤0      

可见，原码的最高位为符号位，符号为0表示真值为正，符号为1表示真值为负。所以将真值转换为原码时，若真值为正，则直接在其最高位加0；若真值为负，则直接在其最高位加1。

值得注意的是，0的原码有两种表示方法：

[+0]_原=00000000

[-0]_原=10000000

2．反码

对于正数，反码的表示方法和原码相同，即最高位为符号位，用0表示，其后各位表示数值的大小。对于负数，由原码变为反码的规则为：除符号位的1不变外，其余各位按位取反，即原来为0的变为1，原来为1的变为0。下面举几个例子：

X=+1001001

[X]_原=01001001   [X]_反=01001001

X=﹣1001001

[X]_原=11001001   [X]_反=10110110

通过上面的例子，可以总结出求反码的公式：  

[X]_反=X           0≤X＜2^n-1

[X]_反=2ⁿ⁺¹-1+X     -2^n-1＜X≤0 

在反码的表示法中，0的表示法也有两种：

[+0]_反=00000000

[-0]_反=11111111

3．补码

对于正数，补码的表示方法和原码相同，即最高位为符号位，用0表示，其后各位表示数值的大小。对于负数，由原码变为补码的规则为：除符号位的1不变外，其余各位按位取反，并在最低位加1。下面举几个例子：

X=+1010001

[X]_原=01010001   [X]_补=01010001

X=-1010001

[X]_原=11001001   [X]_补=10110111

通过上面的例子，可以总结出求补码的公式表示法如下：  

[X]_补=X           0≤X＜2^n-1

[X]_补=2ⁿ⁺¹+X       -2^n-1＜X≤0 

在补码的表示法中，0的表示法是唯一的。

综上所述可以看出，对于一个正数，有

[X]_原=[X]_补=[X]_反

对于一个负数，有

[X]_补=[X]_反+1

原码是人们习惯用到且容易识别的一种机器数，做乘除运算比较简单；补码可将数字系统中的减法运算用加法实现，做加减运算比较简单；反码是从原码到补码的过渡形式。值得注意的是，在用补码求和的结果中，要将运算结果产生的进位丢掉，才能得到正确的结果。下面举例说明。

例如，用补码实现X-Y的运算，其中X=1101，Y=0101。

[X]_补=01101   [-Y]_补=11011

[X]_补+[-Y]_补=01101+11011

=“1”01000

可见，丢掉最高位的进位1，才得到正确的结果。

表1-1  带符号数的真值﹑原码﹑反码和补码

表1-1列出了-10～+10的带符号数的真值﹑原码﹑反码和补码。

1.2.2  BCD码

人们习惯用十进制数表示数，但是在计算机中广泛使用二进制数，所以需要用二进制数对十进制数编码，即二-十进制码（Binary Code Decimal），也就是BCD码。这种码既有二进制数的形式，又有十进制数的特点，便于人们理解和数字系统的处理。

一个十进制数有0～9十个不同的数码，因此需要4位二进制数才能表示。但4位二进制数共有2⁴=16种不同的表示方法，所以要从这16种表示法中取出10种来编码，于是出现了很多种编码方式。一般分为有权码和无权码，有权码是指4位二进制数中每一位都有自己对应的权，而无权码的4位二进制数中每一位则没有固定的权。常用的BCD码有8421码、2421码、5421码等，为有权码；还有余三码、格雷码等，为无权码。下面分别介绍几种常见BCD码。

1．8421码

8421码是一种有权码，是最常见的BCD码。它用4位二进制数来表示1位等值的十进制数，且4位二进制数的权由高到低分别为：8﹑4﹑2﹑1，因此在4位二进制数的16种组合中，只用到前10种，后面6种用不到，其编码表如表1-2所示。下面举例说明。

【例1-17】将十进制数（69.27）₁₀转换为8421码。

解：将每位十进制数用4位二进制数表示出来。

6          9    ﹒    2          7

↓         ↓         ↓         ↓

0110       1001   ﹒  0010       0111

所以，（69.27）₁₀=（01101001﹒00100111）₈₄₂₁

2．2421码

2421码也是一种有权码，它的4位二进制数的权从高到低分别为：2﹑4﹑2﹑1。若一个用2421码编码的二进制数为X₃X₂X₁X₀，则它表示的十进制数X为：

X=2X₃+4X₂+2X₁+1X₀

其编码如表1-2所示。

表1-2  常见BCD码

续上表

3．5421码

5421码也是一种有权码，它的4位二进制数的权从高到低分别为：5﹑4﹑2﹑1。若一个用5421码编码的二进制数为X₃X₂X₁X₀，则它表示的十进制数X为：

X=5X₃+4X₂+2X₁+1X₀

其编码如表1-2所示。

4．余三码

余三码是一种无权码，它在数值上比8421码多3，所以称为余三码，它可以用8421码加上0011得到。其编码如表1-2所示。

5．格雷码

格雷码是一种很重要的BCD码，它是一种无权码。它最重要的特点是：任意两个相邻的格雷码之间，只有一位码元不同，它的这种特点使它在形成代码与传输中不容易出错，可靠性高。格雷码有很多形式，这里只介绍典型格雷码。典型格雷码不仅可以对十进制数编码，而且可以对任意二进制数编码。这里介绍用格雷码对二进制数编码的规则。

设二进制数：B=B_n-1B_n-2…B₁B₀，对应的格雷码：G=G_n-1G_n-2…G₁G₀，则有

G_i=B_i+1?B_i

即格雷码的第i位码可以由二进制码的第i和第i+1位码进行异或运算得到。异或运算的运算规则为：

0?0=0       0?1=1?0=1        1?1=0

表1-3所示为二进制码与典型格雷码的转换关系。

表1-3  二进制码与格雷码的转换关系

续上表