1.6 基尔霍夫定律


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1.6 基尔霍夫定律

各元件连接成电路后，其电压、电流将受到两类约束，一类是各元件的性质对其本身电压、电流形成的约束。如R、L、C元件的伏安特性；另一类约束则是由元件与元件的相互连接带来的。这一类约束就是本节要介绍的基尔霍夫定律。

为叙述方便，现介绍几个有关名词。

（1）支路——支路是电路的一部分。它有两个可与电路的其他部分相连的端子。支路可以是一个二端元件或是几个元件的组合。例如在图1-30中，R₁、R₂、C、L等都是支路。支路用其组成元件或两个端点表示，如R₁或（a，b）。U_s和R₃组成一条支路（b，d），也可各自看作一条支路（b，f）和（f，d）。支路两端的电压称作支路电压，支路的端子电流称为支路电流。

（2）节点——若干个支路的端点的结合点称为节点。这些支路是通过节点连接成电路的。图1-30中a，b，c，d都是节点。若把U_s与R₃各自看作支路，则U_s与R₃之间还应有一节点f。

（3）回路——从某一节点出发，连续地沿着支路循行（途经的每个节点都只经过一次）回到原节点，所形成的闭合路径称为回路。回路用其组成的支路表示。如R₁、R₂、L，R₁、LR₄、C等，也可用相应的节点序列表示（相邻两节点间只连有一条支路时所表示的回路是唯一的），如abda、abcda等。

（4）网孔——内部不包含支路的回路称为网孔。

图1-30 介绍电路术语用图

1.6.1 基尔霍夫电流定律（KCL）

KCL是描述电路中与节点相连的各支路电流间相互关系的定律。它的基本内容是：对于集总参数电路的任意节点，在任意时刻流出该节点的电流之和等于流入该节点的电流之和。例如，对于如图1-31所示的电路中的节点b，有

i₁(t)+i₂(t)=i₃(t)+i₄(t)

对于集总参数电路中的任意节点，在任意时刻，流出或流入该节点电流的代数和等于零。如果连接到某节点有m个支路，第k条支路的电流为i_k(t)，k=1，2，…，m，则KCL可写为

（1.6.1）

KCL是电荷守恒定律和电流连续性在集总参数电路中任一节点处的具体反映。所谓电荷守恒定律，即是说电荷既不能创造，也不能消灭。基于这条定律，对集总参数电路中某一支路的横截面来说，它“收支”是完全平衡的。即是说，流入横截面多少电荷即刻又从该横截面流出多少电荷，dq/dt在一条支路上应处处相等，这就是电流的连续性。对于集总参数电路中的节点，在任意时刻t，它“收支”也是完全平衡的，所以KCL是成立的。

如图1-32（a）所示的电路，对闭曲面S，有

i₁(t)+i₂(t)-i₃(t)=0

若两部分电路只有一根线相连，由KCL可知，该支路中无电流。如图1-32（b）所示电路，作闭曲面S，因只有一条支路穿出S面，根据KCL，有i=0A。

（a）（b）

图1-31 电路中节点b 图1-32 KCL应用于闭曲面S

关于KCL的应用，应再明确以下两点：

（1）KCL具有普遍意义，它适用于任意时刻、任何激励源（直流、交流或其他任意变动激励源）情况的一切集总参数电路。

（2）应用KCL列写节点或闭曲面的电流方程时，首先要设出每一支路电流的参考方向，然后依据参考方向是流入或流出取号（流出者取正号，流入者取负号，或者反之）列出KCL方程。另外，对连接有较多支路的节点列KCL方程时不要遗漏了某些支路。

【例1-9】如图1-33所示的电路，已知i₁=4A，i₂=7A，i₄=10A，i₅=-2A，求电流i₃、i₆。

解：选流出节点的电流取正号。对节点b列KCL方程，有-i₁+i₂-i₃=0。

则 i₃=-i₁+i₂=-4A+7A=3A

对节点a列KCL方程，有

则

还可应用闭曲面S列KCL方程求出i₆，如图1-33中虚线所围闭曲面S，设流出闭曲面的电流取正号，列方程

所以

图1-33 【例1-9】用图

1.6.2 基尔霍夫电压定律（KVL）

KVL是描述回路中各支路（或各元件）电压之间关系的。它的基本内容是：对任何集总参数电路，在任意时刻，沿任意闭合路径巡行，各段电路电压的代数和恒等于零。其数学表达式为

（1.6.2）

式中：u_k(t)代表回路中第k个元件上的电压；m为回路中包含元件的个数。

如图1-34所示电路，对回路A有

KVL的实质，反映了集总参数电路遵从能量守恒定律，或者说，它反映了保守场中做功与路径无关的物理本质。从电路中电压变量的定义容易理解KVL的正确性。参看图1-33，如果自a点出发移动单位正电荷，沿着构成回路的各支路又“走”回到a点，相当于电压u_aa，显然应是V_a-V_a=0。

图1-34 某电路中一个回路

KVL不仅适用于电路中的具体回路，对于电路中任何一假想的回路，它也是成立的。例如对图1-34中假想回路B，可列如下方程：

式中：u_x(t)为假想元件上的电压，这样

如果已知u₃(t)、u₄(t)、u₅(t)，即可求出电压u_x(t)。就求电路中一段电路上的电压来说，更经常使用的是电压定义，即由电路中某点“走”至另一点，沿途各元件上电压代数和就是这两点之间的电路上的电压。

关于KVL的应用，也应注意两点：

（1）KVL适用于任意时刻、任意激励源情况的一切集总参数电路。

（2）应用KVL列回路电压方程时，首先设出回路中各元件（或各段电路）上电压参考方向，然后选一个巡行方向（顺时针或逆时针均可），自回路中某一点开始，按所选巡行方向沿着回路“走”一圈。“走”的过程中遇各元件取号法则是：“走”向先遇元件上电压参考方向的“+”端取正号，反之取负号。若回路中有电阻R元件，电阻元件又只标出了电流参考方向，这时列KVL方程时，“走”向与电流方向一致时电阻上电压为+Ri，反之，为-Ri。