2.1 无源电路的等效变换
2.1 无源电路的等效变换
2.1.1 电阻的串联、并联和串并联
电路的等效变换，就是保持电路一部分电压、电流不变，而对其余部分进行适当的结构变化，用新电路结构代替原电路中被变换的部分电路。也可以这样定义：若B与C具有相同的电压电流关系，即相同的VAR，则称B与C是互为等效的，如图2-1和图2-2所示。
（a） （b） （a） （b）
图2-1 具有相同VAR的两部分电路 图2-2 电路等效示意图
电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的VAR；电路等效的对象是A（也就是电路未变化的部分）中的电流、电压、功率；电路等效变换的目的是为了简化电路，可以方便地求出需要的结果。
1．电阻的串联
几个电阻首尾相联。各电阻流过同一电流的连接方式，称为电阻的串联连接，如图2-3所示。
由欧姆定律及KVL，得
（2.1.1）
若把图2-3（a）看作等效电路定义中所述的B电路，上式就是它的VAR。另有单个电阻Req的电路，视它为等效电路定义中所述的Ｃ电路，如图2-3（b）所示。由欧姆定律写出它的VAR为 
（2.1.2）
（2.1.3）
所以等效电阻 
（2.1.4）
（a） （b）
图2-3 电阻串联及等效电路
因此，电阻串联，其等效电阻等于相串联的各电阻之和。电阻串联有分压关系。若知串联电阻两端的总电压，求相串联各电阻上的电压称分压。
（2.1.5）
由欧姆定律，得
（2.1.6）
将式（2.1.4）代入式（2.1.6），得最经常使用的两个电阻串联时的分压公式
（2.1.7）
由式（2.1.6）或式（2.1.7）不难得到
（2.1.8）
因此：
（1）电阻串联分压与电阻值成正比，即电阻值大者分得的电压大。
（2）电阻串联电路消耗的总功率等于相串联各电阻消耗功率之和，且电阻值大者消耗的功率大。
2．电阻的并联
两个电阻首尾分别相联。各电阻处于同一电压下的连接方式，称为并联，如图2-4所示。
图2-4（a）是两个电阻相并联的电路，设电压、电流参考方向关联，由欧姆定律及KCL得
（2.1.9）
图2-4（b）是单个电阻Req的电路。
（a） （b）
图2-4 两电阻并联及等效电路
由欧姆定律可写出其VAR为
（2.1.10）
由电路等效条件，令式（2.1.10）与式（2.1.9）相等，即
所以 
（2.1.11）
电阻并联，其等效电阻之倒数等于相并联各电阻倒数之和。这一结论也适用于两个以上电阻并联的情况，得两个电阻并联后等效电阻的公式
电阻并联有分流关系。若知并联电阻电路的总电流，求相并联各电阻上的电流称分流。
参看图2-4由式（2.1.10）可以得出
（2.1.12）
应用欧姆定律，得
（2.1.13）
将式（2.1.13）中i1与i2相比，可得 
（2.1.14）
（2.1.15）
因此：
（1）电阻并联分流与电阻值成反比，即电阻值大者分得的电流小。如果已知电阻并联电路中某一电阻上的分电流，可应用欧姆定律及KCL方便地求出总电流。
（2）电阻并联电路功率关系为电阻并联电路消耗的总功率等于相并联各电阻消耗功率之和，且电阻值大者消耗的功率小。
3．电阻串并联电路
既有电阻串联又有电阻并联的电路称电阻串并联电路。判别混联电路的串并联关系一般应掌握下述3点：
（1）看电路的结构特点。
（2）看电压电流关系。
（3）对电路作等效变形。
2.1.2 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换
有一些混联电阻的电路，既不同于电阻的串联也不属于电阻的并联。因此，无法用串、并联的公式进行等效化简。仔细分析这种电路可发现存在如下的典型连接：即星形连接（Y形连接）或三角形连接（△形连接），如图2-5所示。
（a） （b）
图2-5 星形电阻的Y形连接和三角形连接
Y形连接——即3个电阻的一端连接在一个公共节点上，而另一端分别接到3个不同的端钮上。如图2-5（a）中的R1、R2和R3。
△形连接——即3个电阻分别接到每两个端钮之间，使之本身构成一个三角形。如图2-5（b）中的R12、R23和R13为三角形连接。
当它们被接在复杂电路中时，在一定的条件下可以等效互换，而不影响电路其余未经变换部分的电压和电流；经过等效变换可使整个电路简化从而可以利用电阻串并联的方法进行计算。
如前所述：两个电路相互等效的条件是要求它们端钮的伏安关系完全相同。可以证明星形连接与三角形连接电路等效变换公式如下所示。
（1）已知△形连接的3个电阻来确定等效Y形连接的3个电阻的公式为：
（2.1.16）
（2）已知Y形连接的3个电阻来确定等效△形连接的3个电阻的公式为
（2.1.17）
可以用下面的形式来帮助记忆
△形连接电阻=
Y形连接电阻=
【例2-1】以图2-6电路为例，求电压U1。
（a） （b）
图2-6 【例2-1】用图
解：应用Y形、△形互换将图2-6（a）等效为图2-6（b），再应用电阻串并联等效求得等效电阻。
