2.3 电路的基本分析方法

 

2.3  电路的基本分析方法

前面讲过的电阻电路的等效变换方法可用于：①分析简单电路；②使复杂电路的局部得到简化，而对于一般的复杂电路要用“系统化”的“普遍性”的方法。与等效变换法不同，系统化的普遍性方法不改变电路的结构。其步骤大致为：

（1）选择一组完备的独立变量（电压或电流）。

（2）由KCL、KVL及VAR建立独立变量的方程（为线性方程组）。

（3）由方程解出独立变量进而解出其他待求量。

这类方法亦称为独立变量法，它包括：支路电流法、回路电流法、网孔电流法、节点电压法。

2.3.1  支路电流法

支路电流法是以支路电流作为电路的变量，直接应用基尔霍夫电压（KVL）、电流定律（KCL），列出与支路电流数目相等的独立节点电流方程和回路电压方程，然后联立解出各支路电流的一种方法。

一个具有b条支路、n个节点的电路，根据KCL可列出（n-1）个独立的节点电流方程式，根据KVL可列出[b-(n-1)]个独立的回路电压方程式。

以图2-12为例说明其方法和步骤：

（1）由电路的支路数m，确定待求的支路电流数。该电路m=6，则支路电流有i₁、i₂、…、i₆6个。

（2）节点数n=4，可列出n-1个独立的节点方程。

                                                       

图2-12  支路电流法

（3）根据KVL列出回路方程。选取l=m-(n-1)个独立的回路，选定绕行方向，由KVL列出l个独立的回路方程。

                                                

（4）将6个独立方程联立求解，得各支路电流。如果支路电流的值为正，则表示实际电流方向与参考方向相同；如果某一支路的电流值为负，则表示实际电流的方向与参考方向相反。

（5）根据电路的要求，求出其他待求量，如支路或元件上的电压、功率等。

【例2-2】 用支路电流法求解如图2-13所示的电路中各支路电流及各电阻上吸收的功率。

图2-13 【例2-2】用图

解：（1）求各支路电流。该电路有3条支路、两个节点。首先指定各支路电流的参考方向，如图2-13所示。

列出节点电流方程

节点①                                       –?₁+?₂+?₃=0

选取独立回路，并指定绕行方向，列回路方程

回路1                                        7?₁+11?₂=6-70=-64

回路2                                        -11i₂+7i₃=-6

联立求解，得到                         ?₁=-6A

                                                 ?₂=–2A

                                                 ?₃=-4A

支路电流?₁、?₂、?₃的值为负，说明?₁、?₂、?₃的实际方向与参考方向相反。

（2）求各电阻上吸收的功率。

电阻R₁吸收的功率                    P₁=(-6)²×7W=252W

电阻R₂吸收的功率                    P₂=(-2)²×11W=44W

电阻R₃吸收的功率                    P₃=(-4)²×7W=112W

2.3.2  节点电压法

在电路中任意选择一个节点为非独立节点，称此节点为参考点。其他独立节点与参考点之间的电压，称为该节点的节点电压。

节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量，利用基尔霍夫电流定律（KCL）和欧姆定律（OL）导出(n-1)个独立的节点电压为未知量的方程，联立求解，得出各节点电压。然后进一步求出各待求量。

节点电压法适用于结构复杂、非平面电路、独立回路选择麻烦以及节点少、回路多的电路的分析求解。对于n个节点、m条支路的电路，节点电压法仅需(n-1)个独立方程，比支路电流法少[m-(n-1)]个方程。

如图2-14所示是具有3个节点的电路，下面以该图为例说明用节点电压法进行的电路分析方法和求解步骤，导出节点电压方程式的一般形式。

首先选择节点③为参考节点，则u₃=0V。设节点①的电压为u₁、节点②的电压为u₂，各支路电流及参考方向见图2-14。应用基尔霍夫电流定律，对节点①、节点②分别列出节点电流方程。

图2-14  节点电压法

节点①                                      

节点②                                      

用节点电压表示支路电流

                                                

                                                

                                                

代入节点①、节点②电流方程，得到

                                                

                                                

整理后可得

                                                

                                                

分析上述节点方程，可知：

节点①方程中的(G₁+G₂)是与节点①相连接的各支路的电导之和，称为节点①的自电导，用G₁₁表示。由于(G₁+G₂)取正值，故G₁₁=(G₁+G₂)也取正值。

节点①方程中的-G₂是连接节点①和节点②之间支路的电导之和，称为节点①和节点②之间的互电导，用G₁₂表示。G₁₂=-G₂，故G₁₂取负值。

节点②方程中的(G₂+G₃)是与节点②相连接的各支路的电导之和，称为节点②的自电导，用G₂₂表示。由于(G₂+G₃)取正值，故G₂₂=(G₂+G₃)也取正值。

节点②方程中的-G₂是连接节点②和节点①之间各支路的电导之和，称为节点②和节点①之间的互电导，用G₂₁表示。且G₁₂=G₂₁，故G₂₁取负值。

()是流向节点①的理想电流源电流的代数和，用表示。流入节点的电流取“+”；流出节点的取“–”。

()是流向节点②的理想电流源电流的代数和，用表示。、前的符号取向同上。

根据以上分析，节点电压方程可写成      

                                                       

这是具有两个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式，也可以将其推广到具有n个节点（独立节点为n–1个）的电路，具有n个节点的节点电压方程的一般形式为

                           

                           

                                                       

                           

综合以上分析，采用节点电压法对电路进行求解，可以根据节点电压方程的一般形式直接写出电路的节点电压方程。其步骤归纳如下：

（1）指定电路中某一节点为参考点，标出各独立节点电位（符号）。

（2）按照节点电压方程的一般形式，根据实际电路直接列出各节点电压方程。列写第K个节点电压方程时，与K节点相连接的支路上电阻元件的电导之和（自电导）一律取“+”号；与K节点相关联支路的电阻元件的电导（互电导）一律取“–”号。流入K节点的理想电流源的电流取“+”号；流出的则取“–”号。

节点法的特例情况（弥尔曼定理的应用）。当节点数n=2独立节点数为1如图2-15所示，可先将有伴电压源等效成有伴电流源（熟练之后不必），按节点法的基本步骤有：

                                         

即对n=2的电路有

                                         

此式称为弥尔曼定理。它给出了单节点偶电路（其特点是各元件都并联在一对节点之间）电压的一般规律：对于单节点偶电路，其两端的电压等于流入假定高电位节点电路源电流减去流出高电位节点电流源电流，除以所有并联电阻元件的电导之和。可见，利用弥尔曼定理求取两节点之间电压后，可以很方便地求出其他各支路的电流。

图2-15  弥尔曼定理的应用

【例2-3】 用节点电压法求如图2-16所示的电路各支路电流。

图2-16 【例2-3】用图

解：                                  

                                  

                                  

                                  

求出U后，可用欧姆定律求各支路电流。

2.3.3  网孔电流法

网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利用基尔霍夫电压定律列出网孔电压方程，进行网孔电流的求解。然后再根据电路的要求，进一步求出待求量。

网孔电流是一个假设沿着各自网孔内循环流动的电流，如图2-17所示。设网孔①的电流为；网孔②的电流为；网孔③的电流为。网孔电流在实际电路中是不存在的，但它是一个很有用的用于计算的量。选定图中电路的支路电流参考方向，再观察电路可知，网孔电流与支路电流有以下的关系

                           

                           

图2-17  网孔电流法

 

用网孔电流替代支路电流列出各网孔电压方程

网孔①                        

网孔②                        

网孔③                        

将网孔电压方程进行整理为

网孔①                        

网孔②                        

网孔③                        

分析上述网络电压方程，可知：

（1）网孔①中电流的系数(R₁+R₄+R₅)、网孔②中电流的系数(R₂+R₃+R₄)、网孔③中电流的系数(R₃+R₅+R₆)分别为对应网孔电阻之和，称为网孔的自电阻，用R_ij表示，i代表所在的网孔。

（2）网孔①方程中前的系数(-R₄)，它是网孔①、网孔②公共支路上的电阻，称为网孔间的互电阻，用R₁₂表示，R₄前的负号表示网孔①与网孔②的电流通过R₄时方向相反；前的系数R₅是网孔①与网孔③的互电阻，用表示，R₅取正表示网孔①与网孔③的电流通过R₅时方向相同；网孔②、网孔③方程中互电阻与此类似。互电阻可正可负，如果两个网孔电流的流向相同，互电阻取正值；反之，互电阻取负值，且R_ij=R_ji，如R₂₃=R₃₂=R₃。

（3）、、分别是网孔①、网孔②、网孔③中的理想电压源的代数和。当网孔电流从电压源的“+”端流出时，该电压源前取“+”号；否则取“–”号。理想电压源的代数和称为网孔i的等效电压源，用表示，i代表所在的网孔。

根据以上分析，网孔①、②、③的电流方程可写成

                                  

                                  

                                  

这是具有3个网孔电路的网孔电流方程的一般形式。也可以将其推广到具有n个网孔的电路，n个网孔的电路网孔电流方程的一般形式为：

                                  

                                  

                                                       

                                  

综合以上分析，网孔电流法求解可以根据网孔电流方程的一般形式写出网孔电流方程。

其步骤归纳如下：

（1）选定各网孔电流的参考方向。

图2-18 【例2-4】用图

（2）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电流方程。自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个网孔电流的流向而定，两个网孔电流的流向相同，取正；否则取负。等效电压源是理想电压源的代数和，注意理想电压源前的符号。

（3）联立求解，解出各网孔电流。

（4）根据网孔电流再求待求量。

【例2-4】 求如图2-18所示的电路中的电压U_ab。

解：设网孔电流i_A，i_B如图中所标，观察电路，应用方程通式列基本方程为

                                         

由图可以看出控制量u_x仅与回路电流i_B有关，故有辅助方程

                                                

经化简整理，得               

解得                                         

所以                                         

2.3.4  回路电流法

支路电流法直接应用KCL、KVL解电路，很直观。但对b条支路，必须建立b个方程，求解工作量颇大。

一个电路可以有许多回路，假想回路中有一环流，则支路电流是回路电流的代数和。以回路电流作为独立变量求解，然后求取支路电流，称为回路电流法。

（1）网孔电流法是选用网孔作为独立回路，因此网孔电流是互相独立的。

（2）回路电流法同样是选用电流作为变量，区别只在于此电流不一定是网孔电流，可以使用回路电流。网孔电流法是回路电流法的特例。

（3）回路电流法不仅适用于分析平面电路，而且也适用于分析非平面电路。

一般回路的回路电流法，如图2-19所示。

选回路l₁，l₂，l₃，用支路电流法对回路l₁列KVL方程：

                                  （2.3.1）

将支路电流用回路电流表示

                                                       

                           

代入（2.3.1）式，整理得

                     （2.3.2）

同理，对回路l₂，l₃分别有

                                      （2.3.3）

                               （2.3.4）

式（2.3.2）、（2.3.3）、（2.3.4）可简写为

                                  

                                  

                                  

同理，对k条回路，有

                                  

其中：R₁₁、R₂₂、…、R_kk等称为基本回路的自电阻，等于每个基本回路的电阻之和，如R₁₁=R₁+R₄+R₅+R₆；R₁₂、R_kj等称为基本回路的互电阻，等于两个基本回路间的公共电阻之和。正负号取决于两个回路电流流过公共电阻时的方向是否一致，一致则取正号，如R₁₂=R₄+R₅，R₁₃=-(R5+R₆)；方程右边即本回路电压源电压的代数和，电压源由“-”到“+”和回路绕向一致为正。

使用回路电流法的注意事项：

（1）要保证所选回路之间彼此独立，新回路至少应包含一条其他回路所没有的新支路。

（2）要选择足够的独立回路数（独立回路数就是网孔数）。

网孔电流法只适用于平面电路，而回路电流法却是普遍适用的方法。如图2-20所示的电路中，已知电路的网孔数为3，故独立回路数为3。

列写回路电流方程：按图中所选回路电流绕行方向列写回路方程并求解，即求得各回路电流。列写回路电流方程的方法与网孔电流法中的相同。

                           

                           

                           

       

图2-19  回路电流法                         图2-20  说明回路电流法的一个例子