2.4 电路分析常用定理
2.4 电路分析常用定理
本章介绍几个基本电路定理，除替代定理外，这些都以线性网络为前提条件。掌握这些定理有助于简化电路的分析工作。
2.4.1 叠加定理和齐次定理
线性电路应满足线性关系。所谓线性关系指函数与自变量之间满足可加性和齐次性可加性的数学表达式为 
，电路中的可加性就是叠加定理，叠加定理表述为：在任何由线性元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应（电压或电流）都可以看成是各个独立电源单独作用时，在该支路中产生响应的代数和。当单一独立电源单独作用时，其他独立电源应都等于零（独立理想电压源短路，独立理想电流源开路）。以图2-21为例来说明叠加定理。
（a） （b） （c）
图2-21 说明叠加定理的一个例子
如求电流i1，可用网孔法。设网孔电流为iA，iB。由图可知iB=iS，对网孔A列出的KVL方程为
如令 
则可将电流i1写为 
设该电路的网孔方程为 
根据克莱姆法则解式（2.4.1）求i1
（2.4.1）
（2.4.2）
式（2.4.2）中：Δj1为Δ中第一列第j行元素对应的代数余子式，j =1，2，…，m。例如
为第j个网孔独立电压源的代数和，所以
（2.4.3）
若令k11=Δ11/Δ，k21=Δ21/Δ，…，km1=Δm1/Δ，代入式（2.4.3），得
式中，k11，k21，km1是与电路结构、元件参数及线性受控源有关的常数。
在应用叠加定理时应注意：
（1）叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应而不能用来计算功率。
（2）应用叠加定理求电压、电流是代数量的叠加，应特别注意各代数量的符号。
（3）当一独立源作用时，其他独立源都应等于零（即独立理想电压源短路，独立理想电流源开路）。
（4）若电路中含有受控源，应用叠加定理时，受控源不要单独作用（若要单独作用只会使问题的分析求解更复杂化），在独立源每次单独作用时受控源要保留其中，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的变化而变化。
（5）叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于对分析计算问题简便与否。
【例2-5】 如图2-22（a）所示电路，求电压uab和电流i1。
（a） （b） （c）
图2-22 【例2-5】用图
解：由叠加定理得
齐次性的数学表达式为f(Kx)=Kf(x)，式中的K为任意常量。齐次定理表述为：当一个激励源（独立电压源或独立电流源）作用于线性电路，其任意支路的响应（电压或电流）与该激励源成正比。
|
图2-23 【例2-6】用图 |
【例2-6】 图2-23为一线性纯电阻网络NR，其内部结构不详。已知两激励源us、is是下列数值时的实验数据为
当us=1V，is=1A时，响应u2=0V；
当us=10V，is=0A时，u2=1V。
问当us=30V，is=10A时，响应u2=？
解： u2=k1us+k2is
式中：k1，k2为未知的比例常数，其中k1无量纲，k2的单位为Ω。
2.4.2 置换定理
置换定理（又称替代定理）可表述为：具有唯一解的电路中，若知某支路k的电压为uk，电流为ik，且该支路与电路中其他支路无耦合，则无论该支路是由什么元件组成的，都可用下列任何一个元件去置换，如图2-24所示。
图2-24 置换定理示意图
（1）电压等于uk的理想电压源。
（2）电流等于ik的理想电流源。
（3）阻值为uk/ik的电阻。
用一个简单电路来说明置换定理。见图2-25，很容易求得以下4个电路是等效的。
（a） （b） （c） （d）
图2-25 验证置换定理正确性的一个电路
如图2-25（a）所示电路，先应用节点法计算出各支路电流及ab支路电压。列写节点方程，得 
uab=Va=4V
设出各支路电流i1，i2，i3，由图可见i1=8A，由欧姆定律得i2=uab/1=4/1A=4A，再由KCL得i3=i1-i2=8A-4A=4A。这些结果的正确性无可置疑。
替代定理可论证如下：设原电路支路电压、电流有唯一解，它们满足KCL、KVL及VCR约束关系，当第K支路用独立电压源us替代后，出于新电路均原电路连接方式是完全相同的，因而新电路与原电路的KCL和KVL方程也将相同。两电路的支路约束关系，除第K支路外也都相同。在新电路中，第K支路的电压被规定us=uk，即等于原电路中的第K支路的电压，而它的电流则可以是任意的（这是电压源的特点），根据假定，原电路和新电路中的各支路电压、电流都是两电路各自的唯一解。由于两电路的约束方程相同，所以原电路的全部电压和电流也满足新电路的所有约束关系，也就是替代后电路的唯一解。
如果第K支路被用is=ik的独立电流源替代，也可作类似的论证。置换定理还可以应用在非线性电路中。
【例2-7】 如图2-26所示电路，已知uab=0V，求电阻R。
（a） （b）
图2-26 【例2-7】用图
解：如果根据已知的uab=0V的条件求得ab支路电流i，即
uab=-3i+3=0
得 i=1A
对节点a列方程 
解之，得 
因 uab=0V，所以Vb=Vc=8V。
在图2-26（a）中设出支路电流i1、iR，电压uR。由欧姆定律及KCL，得
2.4.3 戴维南定理和诺顿定理
1．戴维南定理
戴维南定理的内容是：一个含独立源、线性受控源、线性电阻的二端电路N，对其两个端子来说都可等效为一个理想电压源串联内阻的模型。其理想电压源的数值为有源二端电路N的两个端子间的开路电压UOC，串联的内阻为N内部所有独立源等于零（理想电压源短路，理想电流源开路），受控源保留时两端子间的等效电阻Req，常记为RO。等效电路如图2-27所示。
（a） （b）
图2-27 戴维南等效电路
凡是含有电源的二端电路称为含源二端电路，而不含电源的二端电路称为无源二端电路。
戴维南定理用叠加定理证明如下：设含源二端电路N端钮外接一电流源I，如图2-28（a）所示。
现在来求端钮电压与电流之间的关系。根据叠加定理，端钮ab的电压U可以看成由两组电源作用的结果，一组是由电路N中所有独立源作用，而电流源I不作用时产成的电压分量
，如图2-28（b）所示。这个分量就是电路N的开路电压Uoc，即
另一个电压分量是电流源I作用，而电路N中所有独立源皆为零值时的分量
，如图2-28（c）所示。
表示N中所有独立源皆为零值时的无源二端电路。此时，从ab两端看进去为一等效电阻RO。由图可以写出
综合上述分析，一个线性含源二端电路的电压、电流关系为
（2.4.4）
显然，式（2.4.4）所表示的二端电路的电压、电流关系与图2-27（b）的电路所示的一致。戴维南定理得证。图2-27（b）称为戴维南等效电路。
（a） （b） （c）
图2-28 戴维南定理的证明
2．诺顿定理
诺顿定理（Norton′s Theorem）可表述为：一个含独立电源、线性受控源和线性电阻的二端电路N，对两个端子来说都可等效为一个理想电流源并联内阻的模型。其理想电流源的数值为有源二端电路N的两个端子短路时其上的电流isc，并联的内阻等于N内部所有独立源为零时电路两端子间的等效电阻，记为RO，如图2-29所示。
（a） （b）
（c） （d）
图2-29 诺顿定理示意图
一个线性含源一端口电路既可用戴维南等效电路来替代，也可用诺顿等效电路来替代。同一个一端口电路的两种等效电路应该是相互等效的，它们之间应满足电压源与电流源等效互换关系。一般情况，一端口含源电路的两种等效电路都存在，但是当一端口电路内电源置零时，若入端电阻为零，则戴维南等效电路为一理想电压源，如这样，则对应的诺顿等效电路将不存在。有时，把戴维南定理和诺顿定理统称为等效电源定理或等效发电机定理。应注意，这里所说的“等效”是指对外电路的作用而言的，对于已被置换的有源一端口电路内部来说则是不等效的。这两个定理非常有用。假如对一个复杂电路的部分电路的求解没有要求，而这部分电路又能构成一个一端口，在这种情况下，就可以应用这两个定理，把这部分电路用两个电路元件的简单组合来置换，而不影响其余电路的求解。被置换部分电路必须是线性的，而其外电路则不受此限制。
【例2-8】 用戴维南定理求如图2-30（a）所示电路的电流I。
（a） （b）
（c） （d）
图2-30 【例2-8】用图
解：（1）断开待求支路，得有源二端网络如图2-30（b）所示。由图可求得开路电压UOC为：
（2）将图2-30（b）中的电压源短路，电流源开路，得除源后的无源二端网络如图2-30（c）所示，由图可求得等效电阻RO为：
（3）根据UOC和RO画出戴维南等效电路并接上待求支路，得图2-30（a）的等效电路，如图2-30 （d）所示，由图可求得I为：
【例2-9】 用诺顿定理求图2-31（a）所示电路的电流I。
解：（1）将待求支路短路，如图2-31（b）所示。由图可求得短路电流ISC为：
（2）将图2-31（b）中的恒压源短路，得无源二端网络如图2-31（c）所示，由图可求得等效电阻R0为：
（a） （b）
（c） （d）
图2-31 【例2-9】用图
（3）根据ISC和R0画出诺顿等效电路并接上待求支路，得图2-31（a）的等效电路，如图2-31（d）所示，由图可求得I为
2.4.4 互易定理
互易定理可表述为：对一个仅含线性电阻的二端口，其中一个端口加激励源，另一个端口作响应端口（所求响应在该端口上）。在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同，这就是互易定理，如图2-32所示。
（a） （b）
图2-32 互易定理
互易定理有三种表述形式：
第一种表述形式：对互易双口网络Nr，当在端口ab施加一电压源激励us时，在另一端口cd产生的短路电流icd，如图2-33（a）所示，等于将同一us接到端口cd时在端口ab所产生的短路电流iab，如图2-33（b）所示。
（a） （b）
图2-33 互易定理第一种表述形式示意图
第二种表述形式：对互易双口网络Nr，当在端口ab施加一电流源激励is时，在另一端口cd产生的开路电压ucd，如图2-34（a）所示，等于将同一is接到端口cd时在端口ab所产生的开路电压uab，如图2-34（b）所示。
（a） （b）
图2-34 互易定理第二种表述形式示意图
第三种表述形式：对互易双口网络Nr，当在端口ab施加一电流源激励is时，在另一端口cd产生的短路电流icd，如图2-35（a）所示，等于将一数值与is相等的电压源接到端口cd时在端口ab所产生的开路电压uab，如图2-35（b）所示。
（a） （b）
图2-35 互易定理第三种表述形式示意图
互易定理的证明，如图2-36所示。
（a） （b）
图2-36 证明互易定理用图
在图2-36（a）中列写网孔方程为 
（2.4.5）
（2.4.6）
（2.4.7）
（2.4.8）
（2.4.9）
（2.4.10）
因互易前图2-36（a）与互易后图2-36（b）电路拓扑结构一样，网孔个数及序号互易前后两网络也一样，仅网孔电流相反，所以有图2-36（a）中Rjj等于图2-36（b）中Rjj（j=1，2，…，m）；图2-36（a）中Rjk等于图2-36（b）中Rjk（j，k=1，2，…，m）。所以图2-36（a）的Δ等于图2-36（b）的Δ。又NR内不含受控源，所以有Rjk=Rkj（j，k=1，2，…，m），因此行列式Δ中各元素对主对角线对称
从而得代数余因式 
应用互易定理分析电路时应注意以下几点：
（1）互易前后应保持网络的拓扑结构及参数不变，仅理想电压源（或理想电流源）搬移，理想电压源所在支路中电阻仍保留在原支路中。
（2）互易前后电压源极性与1 1′、2 2′支路电流的参考方向应保持一致（要关联都关联，要非关联都非关联）。
（3）互易定理只适用于一个独立源作用的线性电阻网络，且一般不能含有受控源。
【例2-10】如图2-37（a）所示电路，求电流i2。
解： 
（a） （b）
图2-37 【例2-10】用图
2.4.5 最大功率传输定理
在测量、电子和信息系统中，常常遇到电阻负载如何从电源获得最大功率的问题。负载要想获得最大功率，就必须同时获得比较大的电压和电流。在如图2-38（a）所示的电路中，网络N表示向负载RL提供能量的含源二端网络。由戴维南定理可知该电路可以等效为如图2-38（b）所示的电路。
（a） （b）
图2-38 最大功率传输
显然，负载获得的功率为
（2.4.11）
若负载RL过大，则回路电流过小；若负载RL过小，则负载电压过小，此时都不能获得最大功率，那么负载获得最大功率的条件是什么呢？
用数学方法对上式求极大值（推导过程从略），可得负载获得最大功率的条件为当RL=R0时
（2.4.12）
即：当负载电阻等于电源内阻时，负载获得最大功率，最大功率用式（2.4.12）进行计算。
一般常把负载获得最大功率的条件称为最大功率传输定理。在工程上，把满足最大功率传输的条件称为阻抗匹配。
阻抗匹配的概念在实际中很常见，如在有线电视接收系统中，由于同轴电缆的传输阻抗为75Ω，为了保证阻抗匹配以获得最大功率传输，就要求电视接收机的输入阻抗也为75Ω，有时候很难保证负载电阻与电源内阻相等，为了实现阻抗匹配就必须进行阻抗变换，常用的阻抗变换器有变压器、射极输出器等。
【例2-11】 如图2-39（a）所示电路，若负载RL可以任意改变，问负载为何值时其上获得的功率为最大？并求出此时负载上得到的最大功率pLmax。
（a） （b）
（c） （d）
图2-39 【例2-11】用图
解：（1）求uoc。从a，b处断开RL，设uoc如图2-39（b）所示。在图2-39（b）中，应用电阻并联分流公式、欧姆定律及KVL求得
。
（2）求RO。令图2-39（b）中各独立源为零，如图2-39（c）所示，可求得
（3）画出戴维南等效源，接上待求支路RL，如图2-39（d）所示。 由最大功率传输定理知，当
时其上获得最大功率。此时负载RL上所获得的最大功率为
