3.2 正弦量的相量表示法

 

3.2  正弦量的相量表示法

在分析正弦交流电路时，常遇到正弦量的运算。如果直接利用解析式或波形图进行正弦量的运算，就会很复杂。这里介绍一种分析方法——相量法，它是以复数为基础，把正弦函数变为复数形式，从而使分析和计算过程得到简化。

3.2.1  复数及其运算

一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。复数的加减运算规律：复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。

复数的四则运算：设两复数             

                                                

（1）相等。

若a₁=b₁，a₂=b₂，则A=B。

（2）加减运算。

                                  

（3）乘除运算。

                                  

                                  

图3-4  复数A实部与虚部关系图

复数A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度a称为复数A的模，模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角θ称为复数A的辐角。

下面用图3-4来具体阐述一下。

A的实部a₁及虚部a₂与模a及辐角θ的关系为

                                                      （3.2.1）

                                                     （3.2.2）

                                                  （3.2.3）

                                                   （3.2.4）

式中：a称为复数A的模；φ称为复数A的辐角。

根据以上关系式及欧拉公式

                                                 （3.2.5）

可将复数A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型4种形式。

                    （3.2.6）

通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。

特别地，当复数的模为1，辐角为j时，把一个复数乘以就相当于把此复数对应的矢量逆时针方向旋转j角。

3.2.2  正弦量的相量表示

用来表示正弦量的复数称相量，用相量表示正弦量的方法称相量法。为与一般复数相区别，相量的顶上一般加符号“·”。

由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的在效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。

假设某正弦电流为，有一复指数，根据欧拉公式，则复指数为

                      （3.2.7）

上式中的虚部恰好是正弦电流i(t)，这样就把正弦电流和复指数联系起来，一个正弦量是由振幅、频率和初相所决定的。因在同频率的正弦电源激励下，电路中各处的正弦量的频率是相同的，所以在正弦量三要素中，只需确定它们的振幅和初相两个要素。

则                                       （3.2.8）

（注：其中I_m表示取复数的虚部）

                                                 （3.2.9）

上式中复数的模恰好是正弦电流的振幅，辐角是正弦电流的初相，它可满足正弦量中的两个要素，其中称为电流的最大值相量，把相量描绘在复平面上，称为相量图，如图3-5所示。

称为旋转因子。它是模为I_m、幅角为ωt的复数，其中幅角ωt与时间成正比。相量乘以为＝是个旋转相量。当t=0时，旋转相量在复平面的位置和相量相同。它在虚轴上的投影为I_msinj，其数值等于正弦电流在t=0时的值。当t=t₁旋转相量的模不变，幅角变为(wt₁+j)，而在复平面上，此时旋转矢量由初始位置逆时针旋转了ωt₁角度，其在虚轴上投影为I_msinj(wt₁+j)，其数值等于正弦电流在t=t₁时的数值。随着时间的继续，旋转相量按逆时针继续旋转。对于任意时刻t，旋转相量与实轴夹角为(wt+j)，它在虚轴上的投影等于正弦电流i=I_msinj(wt+j)这一瞬时值。如果把这个旋转相量在虚轴上的投影按时间顺序逐点描绘出来，就可得到一条正弦曲线，如图3-6所示。

 

图3-5  I_m的相量图                   图3-6  旋转相量及其在虚轴上的投影

上述的几何意义若用公式表示，就是取旋转相量的虚部得到正弦电流，即

                                                 （3.2.10）

当旋转相量旋转一周，正弦曲线正好变化一周，那么，旋转相量的角速度ω就是正弦信号的角频率。

同理，正弦电压u=可以表示为

                                       （3.2.11）

式中：称为电压的最大值相量。

有效值可以代替振幅值作为正弦量的一个要素，一般常用有效值相量写成

                                             （3.2.12）

                                                （3.2.13）

以后若不特别说明，正弦量的相量都为有效值相量。

综上所述，只要知道了正弦量的解析式，可直接写出它的相量，反之亦然。

如                        

                            u=311sin()V

其相量图如图3-7所示。

图3-7  和的相量图

对于两个同频率正弦量之和的计算，运用相量法也可以进行。相量是复数，相量的运算在复平面进行具有一定的几何意义。例如相量的加减运算符合平行四边形法则，相量也可以用有效值来定义，即

     

下面介绍几个定理。

1．定理1

如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则。

证明：设                           

则                               

故                               

2．定理2

如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则。

证明：设                           

则                               

3．定理3

设相量                                               

则                               

4．定理4

设和为相量，ω为角频率。如果在所有时刻都满足

                                         

则                             

两个或多个正弦量的相加或相减，如果直接用三角函数运算是很复杂的。在引入相量后就变得很简便。

对于多个正弦量求和问题，在理论上有两个未加证明的基本规律：

（1）任意个频率相同的正弦量以及任意个这类正弦量的任意阶导数的代数和，仍然是同一频率的正弦量。

（2）如果若干个同频率正弦量的代数和为零，则各正弦量所对应的相量的代数和也为零。亦即，若正弦量的相量为                 

且                                                           

则                                                           

推抡：若                                                       

则                                                           

这一推论为相量法处理正弦量求和问题提供了重要的理论依据。