3.5 RLC与多阻抗的串、并联电路
3.5 RLC与多阻抗的串、并联电路
3.5.1 阻抗与导纳
端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表示
（3.5.1）
可改写成
（3.5.2）
所以，3种基本元件的相量形式就能归结在一起了。
将
这一统一形式称为相量形式的欧姆定律。其中阻抗Z的单位为欧姆（W）。
如果无源二端网络分别为单个元件R、L和C，则它们相应的阻抗分别为
可以看出，电感、电容元件在电路中的作用体现在其数值
上。为方便起见，我们引入电抗X，单位为欧姆（W）。
这两个元件的阻抗常写成 
（3.5.3）
其中 
（3.5.4）
XL称为电感的电抗，简称感抗。
（3.5.5）
其中 
（3.5.6）
XC称为电容的电抗，简称容抗。
把阻抗的倒数定义为导纳，并用Y表示，即
也可改写为
导纳Y的单位是西门子（S）。当无源二端网络分别为单个元件R、L和C时，它们相应的导纳分别为
式中：G为电导；
和BC=ωC分别称为感纳和容纳，单位为西门子（S）。
3.5.2 RLC串联电路
电阻、电感与电容元件串联的交流电路如图3-23所示。
图3-23 RLC串联电路
1．电压与电流的关系
设电路中的电流为
为参考正弦量，其相量为
。
根据基尔霍夫定律，则电压为
（3.5.7）
用相量表示可以写成
根据R、L、C元件的VAR，有
电抗X等于感抗与容抗之差，即
，X值的正负体现了电路中电感与电容所起作用的大小，关系到电路的性质。
（1）当X＞0时，XL＞XC，电路为感性。
因为XL＞XC，所以UL＞UC。以
为参考相量，分别画出
、
和
的相量图，再将各相量相加（平行四边形法或三角形法），将得到总电压
，如图3-24（a）所示。
从图3-24（a）可看出，
超前于
或
滞后于
，电路呈感性，图中
为电抗电压量，其大小为
，由各电压相量的模构成的三角形称为电压三角形。如图3-24（b）所示。
（a）相量图 （b）电压三角形
图3-24 UL＞UC的相量图与电压三角形
（2）当X＜0时，XL＜XC，电路呈容性。
当X＜0时，UL＜UC，其相量图见图3-25（a）。
从图3-25（a）可看出，
滞后于
或
超前于
，电路呈容性，此时的电压三角形见图3-25（b）。
（a）相量图 （b）电压三角形
图3-25 UL＜UC的相量图与电压三角形
由以上两个电压三角形可知
而是 
（3.5.8）
（3）当X=0时，XL=XC，电路为纯电阻性（即电路处于谐振状态）。这是RLC串联电路中的一种特殊情况，称为串联谐振。这部分内容将在以后进行讨论。
阻抗Z也可写成极坐标形式，即
（3.5.9）
式中：|Z|和φz分别称为阻抗模和阻抗角。
阻抗模等于电压相量
与电流相量
的模值之比，阻抗角等于电压相量
超前电流相量
的相位角。若
＞0，表示电压相量
超前电流相量
；若
＜0，表示电压相量
滞后电流相量
。
2．RLC串联电路的功率
根据前面的结论可知，RLC串联电路的有功功率为
由电压三角形可得 
则 
（3.5.10）
RLC串联电路的无功功率为 
（3.5.11）
而 
则 
（3.5.12）
变压器、电动机及一些电气器件的容量是由它们的额定电压和额定电流来决定的，因此，电路端电压的有效值与电流有效值的乘积称为电路的视在功率，用符号S表示，单位为伏安（VA）。
即 S=UI
工程中也常用千伏安（kVA）。
由上述结论得 
（3.5.13）
由P、Q与S也可构成三角形，称为功率三角形，见图3-26。
P、Q与S也可由电压三角形获得，由图3-24（b），图3-23（b）中的电压三角形中U、UX与UR分别乘上电流I，则可以得到图3-26的功率三角形。
（a）UL＞UC （b）UL＜UC
图3-26 功率三角形
由此，同样可得 
（3.5.14）
（3.5.15）
（3.5.16）
式中： 
（3.5.17）
注意：功率三角形和阻抗三角形、电压三角形一样，不是正弦量也不是相量图。为了反映功率的利用率，把有功功率与视在功率的比值称为功率因数，用cos
表示，即
当视在功率一定时，功率因数越大，用电设备的有功功率越大，电源输出功率的利用率越高。
上述各类功率的计算公式适用于一般正弦交流电路。
【例3-4】一个RLC串联电路，其电阻R=10kΩ，电感L=5mH，电容C＝0.001mF，正弦电压源的振幅为10V，ω=106 rad/s。求电流和各元件上的电压。
解：首先计算电路的阻抗。
感抗 
容抗 
电抗 
电路的阻抗 
由于电抗X＞0，阻抗角
=21.8°＞0；所以阻抗呈电感性。
设电压源相量为 
电流相量 
电阻电压相量
电感电压相量
电容电压相量
电流、电压的表示式为 
3.5.3 多阻抗的串联
图3-27（a）是多个阻抗串联的电路，按习惯选定电流与各电压参考方向并标于图上。
（a） （b）
图3-27 多阻抗串联电路
根据基尔霍夫定律可得 
即 
（3.5.18）
Z称为串联电路的等效阻抗，它等于各阻抗之和，等效电路见图3-27（b）。
若 
，
，…，
则 
（3.5.19）
式中：
称为串联电路的等效电阻；
称为串联电路的等效电抗；
称为串联电路的等效阻抗角；
称为串联电路的等效阻抗。
注意：
。
【例3-5】已知两个阻抗
、
串联在
的电源上，求电流
及各阻抗上的电压
、
。
解：设各电流电压取关联参考方向
则
3.5.4 RLC并联电路
1．多个阻抗并联
图3-28（a）是多个阻抗并联电路，按习惯选定参考方向标于图上。
（a）多阻抗的并联 （b）等效电路
图3-28 多阻抗的并联
根据基尔霍夫定律写出它们的相量表达式为
（3.5.20）
多个并联的阻抗可以用一个等效阻抗Z来代替，根据图3-28（b）的等效电路可得
（3.5.21）
比较以上面两式可得 
（3.5.22）
2．导纳法分析RLC并联电路
其实，3个阻抗以上的并联电路用上述方法分析并不方便。因此，在分析和计算并联交流电路时常利用导纳。导纳就是阻抗的倒数，用Y表示，即
（3.5.23）
导纳的单位为西门子（S）。
因为 
则 
（3.5.24）
其中：实部
称为电导；虚部
称为电纳；它们的单位均为西门子（S）。
导纳的极坐标式为 
（3.5.25）
式中：
称为导纳；
，
为导纳角。
将图3-28（a）中所有的阻抗都转化为导纳，可得到图3-29（a）所示电路。
（a） （b）
图3-29 阻抗转化为导纳后电路图
则 
等效导纳为 
【例3-6】两条支路并联的电路如图3-30所示。已知
，
，
，端电压
，求各支路电流
、
及总电流
，并画出相量图。
解：选u、i1、i2、i的参考方向如图3-29所示。
相量图如图3-31所示。
图3-30 【例3-6】用图 图3-31 【例3-6】相量图