3.6 谐振电路

 

3.6  谐振电路

谐振电路在电子技术中的应用十分广泛。所谓谐振是指含有电容器和电感绕组的线性无源二端网络对某一频率的正弦激励（达到稳态时）所呈现的端口电压和端口电流同相的现象，谐振电路如图3-32所示。由L和C可以组成串联谐振电路和并联谐振电路，其谐振相应地称为串联谐振和并联谐振。

图3-32  谐振电路

3.6.1  串联谐振电路

1．串联谐振的条件

如图3-33所示，可以得出回路在外加电压作用下，电路中的阻抗为

                                       （3.6.1）

图3-33  串联谐振

当改变电源频率，或者改变L、C的值时都会使回路中电流达到最大值，使电抗

                                           （3.6.2）

电路呈电阻性，此时就说电路发生谐振。由于是R、L、C元件串联，所以又叫串联谐振。

外加电压，应用复数计算法得回路电流为

                              （3.6.3）

阻抗                                                                                                  （3.6.4）

                                  

                                  

式中：|Z|为阻抗的模；j_z为阻抗的角。

在某一特定频率时，若回路满足下列条件

                                          （3.6.5）

则电流为最大值，回路发生谐振。

所以上式称为串联电路发生谐振的条件。即当串联回路中容抗等于感抗时，称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，用f₀表示，相应的角频率用ω₀表示，发生串联谐振的角频率ω₀和频率分别为

2．串联谐振电路特点

（1）谐振时，阻抗最小，且为纯阻性。

因为谐振时，X=0，所以Z=R，|Z|=R。

（2）谐振时，电路中的电流最大，且与外加电源电压同相。串联谐振相量图如图3-34所示。

图3-34  串联谐振相量图

（3）谐振时，电路的电抗为零。感抗X_L和容抗X_C相等，其值称为电路的特性阻抗ρ。由于谐振时

                                         

                                         

                                         

                                         

（4）谐振时，电感和电容上的电压大小相等，相位相反，且其大小为电源电压Us的Q倍。Q称为电路的品质因数。

                                         

3．通频带

（1）谐振曲线：回路中电流幅值与外加电压频率之间的关系曲线称为谐振曲线。在任意频率下回路电流与谐振时回路电流之比为

   （3.6.6）

式中：ξ=Q具有失谐振量的含义，称为广义失谐量。模为

                                  （3.6.7）

据上式可以作出相应的谐振曲线，如图3-35所示。

（2）通频带：当外加信号电压的幅值不变，频率改变为ω=ω₁或ω=ω₂，此时回路电流等于谐振值的，如图3-36所示。()称为回路的通频带，其绝对值为

                               （3.6.8）

为通频带的边界角频率（或边界频率）。回路中相对通频带为

可见，通频带与回路的品质因数Q成反比，Q愈高，谐振曲线愈尖锐，回路的选择性愈好，但通频带愈窄。因此，对串联振荡回路来说，两者存在着矛盾。

           

图3-35  串联谐振时谐振曲线                        图3-36  串联谐振时的通频带

【例3-7】已知R、L、C串联电路中R=20Ω，L=300μH，信号源频率调到800kHz时，回路中的电流达到最大，最大值为0.15mA，试求信号源电压U_s、电容C、回路的特性阻抗ρ、品质因数Q及电感上的电压。

解：根据谐振电路的基本特征，当回路的电流达到最大时，电路处于谐振状态。由于谐振时                           

                           

则电感上的电压为      

3.6.2  并联谐振电路

1．并联谐振的条件

串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况，如果信号源内阻很大，采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因数，使选择性显著变坏（通频带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。在图3-37所示RLC并联电路中，电路的总导纳Y为

图3-37  RLC并联谐振电路

                                                

其导纳模为

                                 （3.6.9）

相应的阻抗模

                             （3.6.10）

可以看出：只有当X_L=X_C时|Z|=R，电路呈电阻性。由于RLC并联，所以这时又称为并联谐振。故并联谐振的条件是X_L=X_C，即当时发生并联谐振。其谐振频率为

2．并联谐振电路的特点

（1）谐振时，导纳为最小值，阻抗为最大值，X_L=X_C，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性

，

（2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，总电流最小，其值为

                                                   （3.6.11）

（3）谐振时，电感支路与电容支路的电流大小近似相等，为总电流的Q倍。

                          （3.6.12）

式中：Q称为并联谐振电路的品质因数，其值为

                                             （3.6.13）

（4）谐振时激励电流全部通过电阻支路，电感与电容支路的电流大小相等，相位相反，使图3-37中A、B间相当于开路，所以并联谐振又称为电流谐振。

3．绕组和电容器的并联谐振电路

工程上广泛应用电感绕组与电容器组成并联谐振电路，由于实际电感绕组的电阻不可忽略，与电容器并联时，其电路模型如图3-38所示。其电压电流相量图如图3-39所示。

       

图3-38  电感与电容的并联谐振电路          图3-39  L C并联谐振时电压电流相量图

其相应的回路阻抗为

                            （3.6.14）

从相量图中看出

                                           （3.6.15）

即                                                                  （3.6.16）

整理后                                                                                 （3.6.17）

上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为

可以看出，不论R、L、ω为何值，调节电容量C总可以达到谐振，但要调节激励频率使电路发生谐振，必须使＞0（才有可能为实数），即R＜。因此在远大于时，并联谐振的近似条件为。

【例3-8】在RLC串联电路中L=0.25mH，C=100pF，R=13，输入电压U=0.1mV求：

（1）谐振角频率。

（2）谐振电路的品质因数。

（3）谐振电流I₀以及电感、电容上的电压U_L、U_C。

解：（1）谐振角频率

                    

（2）谐振电路的品质因数

                                  

（3）谐振电流I₀以及电感、电容上的电压U_L、U_C