4.3 一阶电路的零状态响应

 

4.3  一阶电路的零状态响应

如果在换路前电容和电感元件没有储能，则在换路后的瞬间电容两端的电压为零，电感中的电流为零，电路的这种情况称为零初始状态。一个零初始状态的电路在换路后受到（直流）激励作用而产生的电流、电压称为电路的零状态响应。下面分别介绍R、C和R、L所构成的一阶电路的零状态响应。

4.3.1  RC串联电路的零状态响应

一阶电路在激励开始作用前的一瞬间，储能元件没有储存能量。这种电路对外加激励时的响应，称为一阶电路的零状态响应。

如图4-9所示的是一个最简单的RC充电电路。设电源电压为U_S，开关S闭合前，储能元件C未充电， ，t=0时S闭合，在时，根据KVL，有

                                             （4.3.1）

式中：，则上式又写成

                                   （4.3.2）

图4-9  RC充电电路

可知，根据KVL列出的RC零状态响应是一阶线性非齐次微分方程，解该微分方程的方法在数学中已经详细论述了，它的解答由两部分组成，即

                                           （4.3.3）

式中：为对应齐次方程的通解；为非齐次微分方程的特解。

所对应齐次微分方程的通解为

   

K为微积分常数，。由于电路的激励是直流电源，所以非齐次微分方程的特解与输入的激励函数形式相同，为一常数。

设特解                                                                                           （4.3.4）

所以                                                                                                     （4.3.5）

则特解为                                                                                            （4.3.6）

微分方程的解为                                                （4.3.7）

由初始条件，代入上式可以求积分常数K

                                                 （4.3.8）

                                                         （4.3.9）

于是，解出                                                            （4.3.10）

其中，特解RI_s称为稳态分量；通解随着将衰减为零，故称为暂态分量。

上式还能写成                                                               （4.3.11）

分析上式不难发现，式中的RI_S是电路进入稳态后的电容电压值，RI_S=。因此上式还可以表示为

                               （4.3.12）

根据电容的伏安关系，电容电流为

                                    （4.3.13）

图4-10是一阶RC电路的零状态响应曲线图。从曲线可以得知u_C以指数形式变化最终趋近于U_S而达到稳态。通解的变化规律与外施激励无关，称为自由分量，时间常数仍与零输入响应相同。应注意的是，自由分量的数值仍与外加激励有关。

各电路变量的暂态分量衰减的快慢取决于因子RC，和电路的零输入响应一样，把称为电路的时间常数，越大，各变量的暂态分量衰减得越慢，电路进入新的稳态所需要的时间越长，即过渡过程越长。当时，有

（a）                                                      （b）

图4-10  一阶RC电路的零状态响应曲线

即经过一个的时间，电容的电压已经达到其稳态值的63.2%，而电路的电流也已经衰减到其初始值的36.8%。一般认为在经过了5的时间以后，各电路变量的暂态分量衰减到初始值的5%以下时，过渡过程即可视为结束，电路进入新的稳定状态。图4-11给出了几个不同值时u_C随时间变化的曲线。

图4-11  时间常数τ与充电的快慢变化的曲线

实际上，电容的充电过程就是在电容中建立电场的过程，在这个过程中电容元件从电源吸取的电能为

                                  

而电阻消耗的能量为：

                                  

由此可见，在充电过程中电源所提供的能量，一半储存在电容的电场中，一半消耗在电阻上。且电阻上消耗的能量与R无关，充电效率总是50%。

【例4-3】在图4-9中，已知，，，电容事先未储能，在t=0时开关S合上。求（1）时间常数。（2）最大充电电流。（3）开关S合上后1ms时的i和u_C的数值。

解：（1）时间常数

（2）时i和u_C的表达式为

                                                

即有                                         

（3）开关合上1ms时  

                                         

4.3.2  RL串联电路的零状态响应

RL零状态响应电路图如4-12类似于RC电路，根据图4-12中所设各变量的参考方向，列出换路后电路的KVL方程

                                            （4.3.14）

因为                                                    

所以                                                                                                  （4.3.15）

这是一个一阶微分方程，解该微分方程，并结合初始条件，即可得

                        （4.3.16）

这就是换路后电路电流在过渡过程中的变化规律。上式右边第一项是电路进入新的稳定状态时的电流值，称其为稳态分量；第二项将随着时间按指数函数的规律衰减，最后为零，称其为暂态分量。因此，在整个过渡过程中，i可以认为是由暂态分量和稳态分量叠加而成。

下面来分析电感电压u_L和电阻电压u_R的情况：

                                           （4.3.17）

                         （4.3.18）

由此可见，换路后u_L从U_S开始即随时间t按指数规律逐渐衰减。由于在稳定状态下，电感相当于短路，u_L最终的稳态值为零，所以在式（4.3.17）中只有其随时间衰减的暂态分量而无稳态分量；u_R在换路后最终达到其稳态值U_S，而其暂态分量则随时间t按指数函数的规律逐渐衰减至零。

图4-13分别给出了换路后i、u_L和u_R随时间变化的曲线。

  

（a）                          （b）          

图4-12  RL电路的零状态响应                   图4-13  RL电路的零状态响应曲线

由式（4.3.16）和式（4.3.18）可知电路中的暂态分量衰减的快慢取决于L/R，把=L/R称为电路的时间常数，其意义同前。一般认为在经过了5的时间以后，过渡过程即可视为结束。

【例4-4】在图4-12所示电路中，已知U_S=20V，R=20，L=5H，电感原先无电流，在t=0时，将开关闭合，求：t分别等于0、和时的电路电流i以及电感元件的电压u_L。

解：（1）t=0时

                                                

因为                                         

所以                                         

因电感原先不储能，所以当t=0时电感相当于开路。

（2）t=时

即t=时，电路的电流已经增大至稳态值的63.2%，而电感两端的电压已经降低至稳态值的36.8%。

（3）t=时

                                         

                                         

即当t=时电感相当于短路。