4.4 一阶电路的完全响应和三要素分析法
4.4 一阶电路的完全响应和三要素分析法
4.4.1 一阶电路的完全响应
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图4-14 RC电路的完全响应 |
、电感中将有电流
，称电路这种状态为非零初始状态。一个非零初始状态的电路受到（直流）激励作用而在其中产生的电流、电压便称为电路的全响应。对于线性电路，其全响应可以应用叠加定理，把它看成是由零输入响应和零状态响应的叠加。本节以RC串联电路为例，介绍一阶电路全响应的分析方法。
在如图4-14所示的电路中，电容已充电至U0，t=0时将开关S合上。下面分析自换路后瞬间起、至电路进入新的稳定状态这段时间内电容两端的电压uC及电路的电流i的变化规律。
根据叠加定理，电路的全响应应该等于U0=0时电路的零状态响应与US=0时电路的零输入响应之和，于是uC的全响应表达式为
（4.4.1）
同样地，电路电流
的全响应表达式为
（4.4.2）
上面两式也可以写成另一种形式
（4.4.3）
（4.4.4）
于是uC的全响应又可以认为是由稳态量US和
的叠加所组成，由于电路稳定时电容相当于开路，电流i最终的稳态值为零，所以式（4.3.22）只有暂态分量无稳态分量。现根据US和U0的关系，结合前面的推导公式，把电路分成3种情况来讨论。
（1）若US＞U0，即电源电压大于电容的初始电压，则在过渡过程中i＞0，即电流始终流向电容的正极板，电容继续充电，uC从U0起按指数规律增大到US。
（2）若US＜U0，即电源电压小于电容的初始电压，则在过渡过程中i＜0，即电流始终由电容的正极板流出，电容放电，uC从U0起按指数规律下降到US。
（3）若US=U0，即电源电压等于电容的初始电压，则在开关合上后，i=0，uC=US电路立即进入稳定状态，不发生过渡过程。
图4-15（a）、（b）分别给出了上述3种情况下uC和i的变化曲线（以曲线1、曲线2和曲线3相区别）。
上面介绍了RC串联电路全响应的分析方法，对于RL串联电路，其分析方法完全相同，在此不再重复。总之，如果电路中仅有一个储能元件（L或C），电路的其他部分由电阻和独立电源连接而成，这种电路仍然是一阶电路，在求解这类电路时可以将储能元件以外的部分应用戴维南定理进行等效化简，从而使整个电路仍然变成RC或RL串联的形式，然后便可利用上面介绍的分析方法求得储能元件的电流和电压。在此基础上，结合欧姆定律和KCL、KVL还可以进一步求出原电路中其他部分的电流、电压。
（a） （b）
图4-15 3种情况下uC和i随时间变化的曲线
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图4-16 【例4-5】用图 |
解：全响应uC(t)可认为是由零输入响应
(t)和零状态响应
(t)组成。
uC(0)=4V
t=RC=1′5s=5s
所以 
，
uC(￥)=US=12V
所以 
，
因此全响应
电容电流 
，
或 
，
另外，全响应uC(t)可认为是由稳态响应
(t)和暂态响应
(t)组成。
，
4.4.2 一阶电路的三要素分析法
一阶动态电路响应的一般形式为：在RC串联电路的全响应的公式
（4.4.5）
式中：U0是电路在换路瞬间电容的初始值
；US是电路在时间
时电容的稳态值，可以记作
；
是时间常数。
于是式（4.3.23）可以写成
（4.4.6）
也就是说，只要求得了电容电压的初始值
、稳态值
和时间常数
、然后代入上式中，即可求得uC的全响应。这样可以得出一个通用公式，即
，
（4.4.7）
式中：f(t)是待求电路变量的全响应；
是待求电路变量的初始值；
是待求电路变量的稳态值；
是电路的时间常数。
稳态值、初始值和时间常数这3个具有特征性的量称为“三要素”。只要知道了这3个要素，就可以利用通用公式直接写出一阶电路中任一电路的变量在换路后的全响应f(t)，不必列出微分方程求解。在直流激励一阶动态电路中，根据求出的任一变量的初始值、稳态值和时间常数，根据通用公式直接写出它们的解答式的方法，被称为一阶电路的三要素法。
是换路后待求变量的稳态值，可以把电路中的电感视作短路、电容视作开路，再根据KVL、KCL列出电路方程求得；至于反映过渡过程持续时间长短的时间常数
由电路本身的参数决定，与激励无关，对RC电路而言
，对RL电路而言
，其中R是在换路后的电路中将储能元件（C或L）移去后从所形成的二端口处看进去的等效电阻，即戴维南等效电路中的等效电阻。在同一电路中
只有一个值。
最后还需要说明的是：
（1）三要素法仅适用于一阶电路。
（2）利用三要素法不仅限于求解储能元件上而且可以是电路中任意处的电流、电压。解题步骤：
① t＜0-时，求出（已知）uC(0-)或iL(0-)。
② t=0+时，根据换路定律
。画出t=0+等效电路图，求出待求变量的初始值f(0+)。用电压为uC(0+)的电压源置换电容或用电流为iL(0+)的电流源置换电感，获得t=0+等效电路图。
③ t≥0+时，求从动态元件两端看去的等效电阻Req（动态元件两端看去的戴维南等效电路或诺顿等效电路的电阻）。计算时间常数
。
④ t=￥时画出等效电路图，即用开路代替电容、用短路代替电感所得的电路。由此电路求出待求变量的稳态值f(￥)。
⑤ 根据三要素公式（4.3.25）代入三要素值，直接写出待求变量的解答式。
【例4-6】图4-17所示电路中，试求开关闭合后电路中的电流iL和i。
解：开关闭合前，电路中只有电流源作用。可求得
开关闭合后，电路中电压源和电流源同时作用，以电感两端向左看求得戴维南等效电路，见图4-18。
图4-17 【例4-6】用图 图4-18 戴维南等效电路
戴维南等效电路与电感构成的RL电路如图4-19所示。
时间常数 
电路达稳态后，电感相当于短路。
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图4-19 等效电路与电感构成图 |
因此利用三要素法写出
在图4-17中用KCL得
