4.6 一阶电路的冲激响应

 

4.6  一阶电路的冲激响应

单位冲激函数 是一种奇异函数，又称为狄拉克（Dirac）函数，它被定义为

                                              （4.6.1）

单位冲激函数在处为零，在t=0处是奇异的。单位冲激函数波形与t轴所包围的面积为1。波形图如图4-25。

单位冲激函数可以看作是单位脉冲函数的一种极限。见图4-26单位脉冲函数p_D(t)为

                                       （4.6.2）

              

图4-25  单位冲激函数d波形图                    图4-26  单位脉冲

脉冲函数Kp_D(t)所围的面积为K，其高度为K/D，函数可看成单位脉冲函数p_D(t)的一种极限，当一个单位脉冲函数的宽度变得越来越窄时，它的幅度越来越大，当D→0时，幅度就变为无限大，但其面积仍为1。

                                      （4.6.3）

函数是用一种集中的（离散的）瞬时作用的效应来代替一种平均的持续作用的效应；冲激函数是一种理想化的波形，是一种宽度极为窄小但具有极大幅度的脉冲波形的近似，函数可以严格地用“广义函数”的概念来理解。

单位冲激函数表示在t=0时的一个冲激。同延迟的单位阶跃函数一样，把发生在t=t₀时的函数记为，它表示在t=t₀时的一个冲激。如果K是一个常量，则表示在t=0时，面积为K的冲激，表示在t=t₀时面积为K的冲激。

因为时，故对任意在t=0时为连续的函数f(t)，有

                                                       （4.6.4）

                                   （4.6.5）

同理，对任意在t=t₀时为连续的函数f(t)，有

                                              （4.6.6）

可以看出，函数有把一个函数f(t)在某一瞬间的值“筛”出来的本领，这一性质称为函数的“筛分”性质。

根据和函数的定义，两者之间存在着以下重要的关系

                                  

                                  

                                         

单位跃阶函数也是一种奇异函数（任意实际的波形不能有跃变），只要把它看作是上升速率非常大的一种波形，那么对它求导数的结果就是宽度极为窄小且幅度很大的一个脉冲，也就是单位冲激函数的一种近似。

一阶电路在单位冲激函数的激励下的零状态响应称为它的单位冲激响应，用h(t)来表示。根据前面所述，当单位脉冲函数的宽度趋于零时，就成为单位冲激函数。因此，

图4-27 【例4-7】用图

可以求出电路对单位脉冲函数的零状态响应，然后令脉冲宽度趋于零，就得到单位冲激响应。

对于【例4-7】，如所加激励改为波形图4-27，此脉冲可以看作是两个阶跃函数之差，即

                            （4.6.7）

电路对这个脉冲函数的响应为

                             （4.6.8）

电路的冲激响应为

                          （4.6.9）

即单位阶跃响应对时间的一阶导数就是单位冲激响应。反过来，单位冲激响应对时间的积分就是单位阶跃响应

                                             （4.6.10）

电路对冲激函数K的响应为

                                          （4.6.11）

也就是说，用冲激函数的面积去乘单位冲激响应就得到该冲激的响应。可知，当脉冲宽度变得很小时，电路对它的响应决定于脉冲面积的大小，而不是单独取决于它的高度或宽度。

【例4-9】如图4-28所示，求电路对冲激电压源的响应u_C和i_C，已知u_C(0_-)=0。

图4-28 【例4-9】用图

解：应用三要素法求出这个电路中电容电压的单位阶跃响应

                           

                           

                           

则有 

电容电压的单位冲激响应为

                           

                                  

电路对冲激电压源2的响应为