4.7 二阶电路的零输入响应
4.7 二阶电路的零输入响应
前面分析了一阶线性电路的过渡过程，这类电路含有一个储能元件（电感或电容）。在一阶电路中的零输入下，电容电压或电感电流均以其初始值为起点，按指数规律衰减到零，这一过程表明电场能量或磁场能量在单调地下降。用二阶线性常微方程来描述的电路称为二阶（线性）电路，这类电路含有两个储能元件。当电路中既有一个电感又有一个电容时，就是一个二阶电路。在二阶电路中，电容与电感之间将发生电场与磁场的能量交换，这就使得电路中的电压、电流不再是简单地单调下降，它们不仅在数值上改变，而且极性也改变。RLC串联电路和GCL并联电路为最简单的二阶电路。
如图4-29所示RLC电路中，t=0时进行换路。换路前电容已经充满电，换路后RLC串连电路，脱离电源，电容经电感、电阻放电，使电路响应为零输入响应。现分析该电路。
图4-29 RLC零输入响应电路
由图可知 
（4.7.1）
，在
时，由KVL得
（4.7.2）
其中 
则有 
（4.7.3）
令2α=R/L，α称为衰减常数，
称为固有振荡频率。
（4.7.4）
上式为二阶齐次微分方程，其特征方程为
（4.7.5）
其特征根为
（4.7.6）
下面根据p1和p2的表达式，分3种情况讨论。
（1）α>ω0，即
。此时p1，p2为不相等的负实数，称为过阻尼情况，其电压和电流波形如图4-30所示。令特征根为
（4.7.7）
微分方程的通解为
（4.7.8）
|
图4-30 过阻尼时的uC和i的波形 |
回路中的电流
放电电流达最大的时刻tm可用求极值的方法解得，令
（2）α=ω0，即
。此时p1，p2为相等的负实数，称为临界阻尼。特征根为
微分方程的通解为
由初始条件
，可得
（3）α<ω0，即
。此时p1，p2为一对共轭复根，称为欠阻尼或衰减振荡，其电压和电流波形如图4-31所示。特征根为
式中：A和φ为待定常数。由初始条件
得
当R=0时，α=0，
（a） （b）
图4-31 欠阻尼时的uC和i波形
由上式可知，此时uC和i为等幅振荡。这是由于R=0，电路仅由L、C构成，在振荡过程中不再有能量损耗。该振荡由电路的初始储能所产生，故称为自由振荡。